Quartil-Algorithmen
Der ultimative Leitfaden

Einleitung: Der Mythos der "einen richtigen Antwort"

Wenn Sie fünf Statistiker bitten, die Quartile eines kleinen Datensatzes zu berechnen, erhalten Sie möglicherweise fünf verschiedene Antworten. Und rein technisch gesehen könnten sie alle recht haben.

1996 veröffentlichten die Statistiker Rob J. Hyndman und Yanan Fan eine bahnbrechende Arbeit mit dem Titel Sample Quantiles in Statistical Packages, in der sie die 9 häufigsten Methoden, die von Software verwendet werden, klassifizierten. Diese Taxonomie ist heute der Standard in der Programmiersprache R (type=1 bis type=9).

Die 9 Quantil-Typen

Diese Methoden werden allgemein in zwei Gruppen unterteilt: Diskrete Methoden (Typ 1-3) und Kontinuierliche Methoden (Typ 4-9).

Diskrete Methoden (Unstetig)

Diese Methoden geben immer einen Wert aus dem Originaldatensatz (oder einen Mittelpunkt) zurück. Sie werden oft für kleine Stichproben oder ordinale Daten verwendet.

• Typ 1 (Inverse der empirischen Verteilungsfunktion): Verwendet von einiger älterer Software. Nimmt nur Werte an bestimmten Rängen.
• Typ 2 (Ähnlich wie Typ 1, aber gemittelt bei Unstetigkeiten): In einigen SAS-Verfahren verwendet.
• Typ 3 (Nächste gerade Ordnungsstatistik): Der Standard in SAS. Rundet auf den nächsten Rang.

Kontinuierliche Methoden (Lineare Interpolation)

Diese Methoden interpolieren zwischen Datenpunkten, was bedeutet, dass das Ergebnis eine Dezimalzahl sein kann, die im Datensatz nicht existiert.

Die gebräuchlichsten Methoden

Obwohl es 9 Typen gibt, werden Sie in der Praxis meistens nur drei begegnen.

Code-Implementierung

In R

data <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

# Vergleiche alle 9 Typen
sapply(1:9, function(type) {
  quantile(data, probs = c(0.25, 0.75), type = type)
})

In Python (NumPy)

import numpy as np

data = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

# method='linear' entspricht R Typ 7
q1 = np.percentile(data, 25, method='linear')
q3 = np.percentile(data, 75, method='linear')

# Andere Methoden: 'lower', 'higher', 'midpoint', 'nearest'

In Excel

' Typ 7 (inklusive)
=QUARTILE.INC(A1:A10, 1)  ' Q1
=QUARTILE.INC(A1:A10, 3)  ' Q3

' Typ 6 (exklusive)
=QUARTILE.EXC(A1:A10, 1)  ' Q1
=QUARTILE.EXC(A1:A10, 3)  ' Q3

Welche Methode sollten Sie verwenden?

Für Studenten

Schauen Sie in Ihr Lehrbuch! Wenn Sie manuelle Berechnungen durchführen, verwenden Sie mit ziemlicher Sicherheit Tukey's Hinges (inklusive). Nutzen Sie unseren Tukey-Rechner.

Für Data Scientists

Bleiben Sie bei Typ 7. Es ist der Standard in R, Python (NumPy, Pandas) und Scikit-learn. Es hat die besten mathematischen Eigenschaften für kontinuierliche Daten.

Für Business-Analysten

Wenn Sie in Excel arbeiten, verwenden Sie QUARTILE.INC (das ist Typ 7). Vermeiden Sie die alte QUARTILE-Funktion, wenn möglich.

Für Medizin-/Sozialwissenschaftler

Wenn Sie SPSS oder SAS verwenden, beachten Sie, dass deren Voreinstellungen von R/Python abweichen können. Dokumentieren Sie immer die verwendete Methode in Ihren Arbeiten.